BAB 3 : INTEGRASI TAK WAJAR DAN INTEGRASI NUMERIK

3.2 Integral Tak Wajar

A) Rangkuman Materi

1 Integral pada Selang Tak Hingga

1. Jika \(f\) kontinu pada selang \([a, \infty)\), maka integral tak wajar \(\int_a^\infty f(x)dx\) pada selang tersebut didefinisikan sebagai limit dengan cara

\( \int_a^\infty f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)dx \)

Jika limitnya ada, maka integral tersebut disebut konvergen, dan jika limitnya tidak ada, maka integral tersebut disebut divergen.

2. Teorema

\(\int_1^+\infty \frac{dx}{x^p} = \begin{cases} \frac{1}{p-1} & \text{jika } p > 1 \\ divergen (\infty) & \text{jika } p \leq 1 \end{cases} \)

3. Jika \(f\) kontinu pada selang \((-infty, b)\), maka integral tak wajar \(\int_{-\infty}^b f(x)dx\) pada selang tersebut didefinisikan sebagai limit dengan cara

\(\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx\)

Jika limitnya ada, maka integral tersebut disebut konvergen, dan jika limitnya tidak ada, maka integral tersebut disebut divergen.

4. Jika \(f\) kontinu pada selang \((-\infty, +\infty)\), maka didefinisikan integral tak wajar \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx\) pada selang tersebut sebagai

\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int _{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{+\infty} f(x)dx\)

di mana \(c\) adalah sembarang bilangan real. Selanjutnya jika kedua integral tersebut konvergen, maka integral tak wajar tersebut juga konvergen.

2 Integral yang mencakup \(ax^2+bx+c\)

1. Jika \(f(x)\) tak terbatas di \(x = b\), yaitu batas atas selang integrasi, maka integral tak wajar \(\int_a^b f(x) dx\) didefinisikan sebagai limit dengan cara

\(\int_a^b f(x) dx = \lim_{l \to b^-} \int_a^l f(x) dx\)

2. Jika \(f(x)\) tak terbatas di \(x = a\), yaitu batas bawah selang integrasi, maka integral tak wajar \(\int_a^b f(x) dx\) didefinisikan sebagai limit sebagai suatu limit

\(\int_a^b f(x) dx = \lim_{l \to a^+} \int_l^b f(x) dx\)

3. Jika \(f(x)\) kontinu pada selang \((a, b)\) kecuali pada beberapa titik \(c\) dengan \( a < c < b, f(x) \) menjadi tak hingga (menuju \(\infty\) atau \(-\infty\)) bila \(x\) mendekati \(c\) dari kiri atau kanan, maka integral tak wajar \(\int_a^b f(x) dx\) didefinisikan sebagai limit dengan cara

\(\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx\)

\(\int_a^b f(x) dx = \lim_{l \to c^-} \int_a^l f(x) dx + \lim_{k \to c^+} \int_k^b f(x) dx\)

Selanjutnya \(\int_a^b f(x) dx\) dikatakan konvergen jika kedua limit tersebut ada, dan divergen jika salah satu atau kedua limit tersebut tidak ada.

B) Contoh Soal

1. Soal ETS 2020 Selesaikan integral

\(\int_{-1}^+\infty \frac{x}{1+x^2}dx\)

Pembahasan:

(\int_{-1}^+\infty \frac{x}{1+x^2}dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{-1}^b \frac{x}{1+x^2}dx\)

=\(\lim_{b \to +\infty} \frac{1}{2}ln(1+x^2)\Big|_{-1}^b\)

=\(\lim_{b \to +\infty} \frac{1}{2}ln(1+b^2) - \frac{1}{2}ln(2)\)

=\(\lim_{b \to +\infty} \frac{1}{2}ln(b^2) - \frac{1}{2}ln(2)\)

=\(\lim_{b \to +\infty} ln(b) - \frac{1}{2}ln(2)\)

=\(\infty - \frac{1}{2}ln(2)\)

=\(+\infty\)

2. (Soal ETS 2024)
Selesaikan integral tak wajar berikut

\(\int_3^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx\)

Pembahasan:

\(\int_3^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx = \lim_{b \to 3^+} \int_b^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx\)

=\(\lim_{b \to 3^+} -\frac{1}{x-3}\Big|_b^4\)

=\(\lim_{b \to 3^+} -\frac{1}{4-3} + \frac{1}{b-3}\)

=\(\lim_{b \to 3^+} -1 + \frac{1}{b-3}\)

=\(\lim_{b \to 3^+} -1 + \infty\)

=\(\infty\)

3. Selesaikan integral tak wajar berikut

\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

Pembahasan:

\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \lim_{b \to 1^-} \int_0^b \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\)

=\(\lim_{b \to 1^-} \sin^{-1}(x)\Big|_0^b\)

=\(\lim_{b \to 1^-} \sin^{-1}(b) - \sin^{-1}(0)\)

=\(\lim_{b \to 1^-} \frac{\pi}{2} - 0\)

=\(\frac{\pi}{2}\)

C) Latihan Soal

1. Selesaikan integral dari

\(\int_{-\infty}^0e^{3x}\)

Pembahasan

=\(\lim_{b \to -\infty} \int_b^0 e^{3x}dx\)

=\(\lim_{b \to -\infty} \frac{1}{3}e^{3x}\Big|_b^0\)

=\(\lim_{b \to -\infty} \frac{1}{3}(1 - e^{3b})\)

=\(\frac{1}{3}(1 - 0)\)

=\(\frac{1}{3}\)

2. Soal ETS 2021
Selesaikan integral dari

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{1+e^{-2t}}dt\)

Pembahasan

\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{1+e^{-2t}}dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{e^t + e^{-t}}dt\)

=\(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\cosh(t)}dt\)

=\(\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \text{sech}(t)dt\)

=\(\frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi\)

=\(\pi\)

3. Soal ETS 2024 Selesaikan integral dari

\(\int_{0}^{\pi /2} \frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx\)

Pembahasan

Perhatikan bahwa integran mendekati \(+\infty\) bila \(x\) mendekati batas bawah \(\frac{\pi}{6}\) dari kiri, sehingga kita perlu mendefinisikan integral ini sebagai limit:

\(\int_{0}^{\pi /2} \frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx = \lim_{t \to 0^+} \int_{t}^{\pi /2} \frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx\)

Selanjutnya akan diselesaikan terlebih dahulu \(\int \frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx\). Misalkan \(u=1-2sinx,\) sehingga \(du=-2cosx dx\) atau \(dx=-\frac{du}{2cosx}\). Maka integral tersebut menjadi:

\(\int \frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx = -\frac{1}{2}\int \frac{1}{2}\int \frac{du}\sqrt{u}\)

=\(-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u} + C

=\(-\sqrt{1-2sinx} + C\)

Kemudian,

\(\int_{0}^{\pi /2} \frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx = \lim_{t \to 0^+} \int_{0}^{t}\frac{cosx}{\sqrt{1-2sinx}}dx\)

=\(\lim_{t \to {\frac{\pi}{6}}} -\sqrt{1-2sinx}\Big|_{0}^{t}\)

=\(\lim_{t \to {\frac{\pi}{6}}} -\sqrt{1-2sin(\frac{\pi}{6})} + \sqrt{1-2sin(0)}\)

=\(\lim_{t \to {\frac{\pi}{6}}} -\sqrt{1-2\cdot \frac{1}{2}} + \sqrt{1-0}\)

=\(\lim_{t \to {\frac{\pi}{6}}} -\sqrt{0} + \sqrt{1}\)

=\(\lim_{t \to {\frac{\pi}{6}}} 0 + 1\)

=\(1\)

4. Soal ETS 2022 Hitung integral berikut

\(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{\sqrt{1-2cosx}}dx\)

Pembahasan:

Perhatikan bahwa integran mendekati \(+\infty\) bila \(x\) mendekati batas bawah \(\frac{\pi}{3}\) dari kiri, sehingga kita perlu mendefinisikan integral ini sebagai limit:

\(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{\sqrt{1-2cosx}}dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{3}^-} \int_{t}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{\sqrt{1-2cosx}}dx\)

Selanjutnya akan diselesaikan terlebih dahulu \(\int \frac{sinx}{\sqrt{1-2cosx}}dx\). Misalkan \(u=1-2cosx,\) sehingga \(du=2sinx dx\) atau \(dx=\frac{du}{2sinx}\). Maka integral tersebut menjadi:

\(\int \frac{sinx}{\sqrt{1-2cosx}}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du\)

=\(\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u} + C\)

=\(\sqrt{1-2cosx} + C\)

Kemudian,

\(\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{sinx}{\sqrt{1-2cosx}}dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{3}^+} \sqrt{1-2cosx}\Big|_{t}^{\frac{\pi}{2}}\)

=\(\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^+} \sqrt{1-2cos(\frac{\pi}{2})} - \sqrt{1-2cos(t)}\)

=\(\lim_{t \to \frac{\pi}{3}^+} \sqrt{1-0} - \sqrt{1-2cos(t)}\)

=\(1 - \lim_{t \to \frac{\pi}{3}^+} \sqrt{1-2cos(t)}\)

Karena \(cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\), maka \(\sqrt{1-2cos(\frac{\pi}{3})} = \sqrt{1-2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{1-1} = 0\)

Jadi, hasilnya adalah \(1 - 0 = 1\)

5. Hitung integral berikut:

\(\int_0^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx\)

Pembahasan:

Perhatikan bahwa integran diskontinu pada \(x = 3\), sehingga

\(\int_0^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx = \int_0^3 \frac{1}{(x-3)^2}dx + \int_3^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx\)

\(= \lim_{r \to 3^-} \int_0^r \frac{1}{(x-3)^2}dx + \lim_{s \to 3^+} \int_s^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx\)

Selanjutnya, akan diselesaikan terlebih dahulu \(\int \frac{1}{(x-3)^2}dx\). Misalkan \(u = x-3\), sehingga \(du = dx\).

\(\int \frac{1}{(x-3)^2}dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{x-3}\)

Kemudian,

\(\int_0^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx = \lim_{r \to 3^-} \int_0^r \frac{1}{(x-3)^2}dx + \lim_{s \to 3^+} \int_s^4 \frac{1}{(x-3)^2}dx\)

\(= \lim_{r \to 3^-} \left( -\frac{1}{x-3} \right)\Big|_0^r + \lim_{s \to 3^+} \left( -\frac{1}{x-3} \right)\Big|_s^4\)

\(= \lim_{r \to 3^-} \left( -\frac{1}{r-3} + \frac{1}{0-3} \right) + \lim_{s \to 3^+} \left( -\frac{1}{4-3} + \frac{1}{s-3} \right)\)

\(= \lim_{r \to 3^-} \left( -\frac{1}{r-3} - \frac{1}{3} \right) + \lim_{s \to 3^+} \left( -1 + \frac{1}{s-3} \right)\)

\(= -\infty - \frac{1}{3} + (-1 + \infty)\)

\(= \frac{1}{3} - (\infty) - 1 + (\infty)\)

\(= +\infty\)